Problemas envolvendo equação do 2º grau com respostas

1) O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?

Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x² equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que 63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:

3x² = 63 - 12x

Que pode ser expressa como:

3x² + 12x - 63 = 0

Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax² + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso problema:

Primeiramente calculemos o valor de Δ:

Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:

A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.

Portanto:

Pedro tem 3 filhos.

2) Uma tela retangular com área de 9600cm² tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?

Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática temos:

x . 1,5x = 9600

Que pode ser expressa como:

1,5x² - 9600 = 0

Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:

As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.

Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120. Portanto:

Esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura.

3) O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?

Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar a seguinte equação:

x² - (x - 20) = 2000

Ou ainda:

A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a resposta deste problema. Vejamos:

As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. Logo:

Agora eu tenho 45 anos.

4) Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de cada produto?

O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x.

Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades.

Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria, temos as informações necessárias para montarmos a seguinte equação:

4 . x + x . x + 8 = 200

Ou então:

Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para descobrimos que valor é este:

As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz igual -16 deve ser descartada. Assim:

O preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.

5) O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?

Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x - 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, temos que x . (x - 5) = 374.

Esta sentença matemática também pode ser expressa como:

Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação:

As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17 deve ser descartada. Logo a idade de Pedro é de 22 anos.

Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos. Logo:

Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos.

6) Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números. Quais números são estes?

Em notação matemática, definindo a incógnita como x, podemos escrever esta sentença da seguinte forma:

3x² = 15x

Ou ainda como:

3x² - 15x = 0

A fórmula geral de resolução ou fórmula de Bhaskara, pode ser utilizada na resolução desta equação, mas por se tratar de uma equação incompleta, podemos solucioná-la de uma outra forma.

Como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas raízes reais. Uma é igual a zero e a outra é dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Resumindo podemos dizer que:

Temos então:

Assim sendo:

Os dois números são 0 e 5.

7) Quais são as raízes da equação x² - 14x + 48 = 0?

Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta pergunta: Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que multiplicados resultam em 48?

Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48.

Segundo as relações de Albert Girard, que você encontra em detalhes em outra página deste site, estas são as raízes da referida equação.

Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da fórmula de Bhaskara:

As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 são 6 e 8.

8) O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?

Sendo x a nota final, matematicamente temos:

2x² = 0

Podemos identificar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficientes b e c são iguais a zero.

Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos:

A nota final de Pedrinho é igual a zero.

9) Solucione a equação biquadrada: -x⁴ + 113x² - 3136 = 0.

Substituindo na equação x⁴ por y² e também x² e y temos:

-y² + 113y - 3136 = 0

A resolvendo temos:

Substituindo os valores de y na expressão x² = y temos:

Para y₁ temos:

Para y₂ temos:

Assim sendo:

As raízes da equação biquadrada -x⁴ + 113x² - 3136 = 0 são: -8, -7, 7 e 8.

10) Encontre as raízes da equação biquadrada: x⁴ - 20x² - 576 = 0.

Novamente iremos substituir x⁴ por y² e x² e y, obtendo uma equação do segundo grau:

y² - 20y - 576 = 0

Ao resolvermos a mesma temos:

Substituindo os valores de y na expressão x² = y obtemos as raízes da equação biquadrada:

Para y₁ temos:

Para y₂, como não existe raiz quadrada real de um número negativo, o valor de -16 não será considerado.

Desta forma:

As raízes da equação biquadrada x⁴ - 20x² - 576 = 0 são somente: -6 e 6.

11) Determine três números inteiros positivos e consecutivos tais que o quadrado do menor seja igual a diferença dos outros dois.

Comentários:
Acreditamos que nesse tipo de problema, os alunos têm dificuldade em interpretar corretamente, visto que é muito comum a montagem da equação errada: x² = (x + 1) – (x + 2).
O quadrado de um número não pode ser negativo, portanto, neste caso, devemos fazer (x + 2) – (x + 1) e não o contrário.
Devemos, então, enfatizar, que a leitura atenta do enunciado é fundamental para uma correta interpretação!

Uma proposta de solução:

Interpretando o problema e usando a linguagem algébrica:
x, representa o menor número
x + 1, representa o consecutivo de x
x + 2, representa o consecutivo de x + 1

Obs: Poderíamos também representá-los por x, x – 1 e x – 2. Nesse caso, x representa o maior dos três números.

Como estratégia de resolução, procedemos a montagem da equação de acordo com o enunciado do problema:
x² = (x + 2) – (x + 1)
Desenvolvendo, temos:
x² = x + 2 – x – 1
x² = 1
Lembrando que:

Logo, x = 1 ou x = –1

Analisando a condição do problema, “três números inteiros positivos e consecutivos”, a única solução que satisfaz é x = 1.

Resposta: Os números são 1, 2 e 3.

12) Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente. Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da idade do filho?

Comentários:

Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido — Há quantos anos... — é importante comentar na turma, que o sinal de menos (–), não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no tempo! O mesmo vale para situações que se remetem a tempo futuro: “Daqui a quanto tempo...”. O sinal de mais (+) significa avançar no tempo.

Uma proposta de solução:

De acordo com o enunciado, podemos fazer uma representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos.
idade do pai há x anos: 45 – x
idade do filho há x anos: 15 – x

Equalizando as informações: 45 – x = (15 – x)²
Desenvolvendo a equação, obtemos:
45 – x = 225 – 30x + x²Utilizando o princípio de equivalência, temos:
x² – 29x + 180 = 0
Resolvendo a equação utilizando as relações entre coeficientes e raízes:
S = 29
P = 180
Devemos pensar em dois números positivos (soma e produto positivos).
Os números são: 9 e 20.

Analisando os resultados encontrados, o valor 20 não pode ser usado no problema, pois, nesse caso, o filho teria idade negativa!
Portando, para x = 9 temos para idades: 36 e 6 anos.

Resposta: Há 9 anos.

13) Um terreno retangular mede 26 m de comprimento e 16 m de largura. Aos fundos do terreno e em uma de suas laterais — como mostra a figura a seguir — serão a crescentadas duas faixas de mesma largura. Com essa expansão do terreno, a nova área medirá 816 m². Qual será a largura dessas faixas?

Comentários:

Inúmeras vezes nos deparamos com o questionamento do aluno: “Professor, pra que serve isso?” Essa pergunta, nesse contexto, pode ser respondida com a abordagem de problemas que relacionam a álgebra com a geometria. Os alunos, além de rever conceitos geométricos, podem perceber a relação dos símbolos matemáticos com situações do cotidiano.

Uma proposta de solução:

Interpretando o problema: Com a colocação das faixas, o novo terreno, também retangular, tem dimensões (x + 26) e (x + 16).
Sabendo que a área do retângulo é igual ao produto de suas dimensões e que a nova área é de 816 m², podemos, então, escrever:
(x + 26)(x + 16) = 816
Desenvolvendo a equação, obtemos:
x² + 42x +416 = 816
Utilizando o princípio de equivalência, temos:
x² + 42x + 416 – 816 = 0
x² + 42x – 400 = 0
Usando o completamento do trinômio e o princípio de equivalência:
x² + 42x + 441– 400 = 441
Fatorando o trinômio quadrado perfeito e, novamente, utilizando o princípio de equivalência, temos:
(x + 21)² = 441 + 400

Logo, x = 8 ou x = –40

Analisando os resultados encontrados, o valor –40 não pode ser usado no problema, pois não existem medidas negativas para representar a grandeza “largura”.

Resposta: A faixa terá 8 m de largura.

14) Quais são as dimensões de um retângulo cujo perímetro e área medem, respectivamente, 50 cm e 150 cm²?

Comentários:

É usual que muitos professores abordem esse tipo de problema quando ministram aulas sobre sistemas de equações do 2º grau. Achamos importante que, ao fazer a interpretação do problema, os alunos percebam que com o uso de apenas uma variável é possível solucioná-lo!

Uma proposta de solução:

Se o perímetro é igual a 50, então o semiperímetro (soma das medidas das dimensões do retângulo) é igual a 25.
Representação algébrica das dimensões do retângulo:
largura: x
comprimento: 25 – x.

Visualizando o retângulo (opcional).

Utilizando o outro dado do problema (área igual a 150), e lembrando que a área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões, podemos afirmar que:
x(25 – x) = 150
Resolvendo, vem que:
25x – x² = 150 (distributividade)
– x² + 25x – 150 = 0 (princípio de equivalência)
x² – 25x + 150 = 0 (princípio de equivalência: multiplicação por –1)
Utilizando a fórmula de resolução de equações de 2º grau:

Concluindo que: x = 15 ou x = 10
Analisando as raízes obtidas, podemos concluir que as dimensões do retângulo são 10 e 15 cm.

Resposta: O retângulo tem 10 cm de comprimento e 15 cm de largura.